お子さんがトラブルや嘘をつくことで悩んでいるのですね。
嘘をつくのは、ADHDの衝動性や感情のコントロールが影響している可能性があります。また失敗を認めるのが怖いか、注目を引きたかったりするのかもしれません。

わたしは学校に勤めており、嘘をつく子どもの対応をしたことがあります。まず落ち着いた時に「正直に話すと安心できるよ」と伝え、嘘をつかなくても受け入れられると感じさせましょう。叱るより「本当のことを教えて」と穏やかに聞くのが効果的です。
具体的には、トラブル後すぐに責めず、「何があったの？」と話を聞き、話せたら良い行動をほめます。
また小さな嘘でも見逃さず、優しく「本当はどうかな？」と確認をするのが鉄則です。

もし学校やデイサービスでも同様なら、支援者とも連携し、どんな時に嘘が増えるか観察してみるとよいかもしれません。
ストレスを溜めないで、信頼できる人に話してくださいね。

おはようございます
年齢を見てきっと年少で入ったばっかりなのかなと思いました
指摘というよりちょっと気になるよといった程度に言ってくれたと考えてみてもいいのかなと思います
もしかしたら保育士さんにこうしたほうがいいというのがあったら教えてもらえるかもしれませんね
毎日会えて子供を見てくれるとっても身近な人が保育士さんなので気軽に聞いてみるといいと思います
ただちょっと話しづらいなと思うなら保健師さんに電話で相談してみるというのもありかと

真似をして集団行動ができる、これはとってもすごいことだと思います
我が家は二人とも障害児の子供ですが全くできません　
オリジナルかやらないかのどちらかです
また公園でお友達がいると行動が変わる点もほかのお子さんの行動を見る力、社会性があるお子さんかなと思います
自分の知らない新しい遊び方があるのか、この子と遊ぶならこうしたほうがいいのかといったことを一生懸命覚えている最中かもしれません
お子さんからしたら初めましてがたくさんですから、人を観察するのが趣味というお子さんもいるかもしれませんね

フルネームが言えるということで、ちなみに氏名を分けて言うことはできますでしょうか？
うちはフルネームを覚えたら氏名を分けて言えなかった（言葉の切れ目がわからない）のでもしやっていなければ言葉の区切りを覚える練習としてやってみてもいいかもしれません