なんとなくですが、幼稚園でのお子さんの姿は本来自分でできる力がある事からも「できないからやってほしい」ではなく、「やってほしいからやってほしい」なのではないかと感じてしまいました。
お子さんなりの先生へのコミュニケーションの一つなのかなと。
新しい園に入園してまだ1ヶ月も経っていないですから、ましてや3歳だと年少さんですよね。
まだまだ自分のことは自分でやる時期でもそれを保護者の方に「家でもやってください」という時期でもないと思うんです。
(これが保育所等で3歳とはいえ持ち上がりとかだったらまた別なのですが💦)

先生にやってほしい事を自分で伝えられるだけでも偉いと思います。
むしろ元幼稚園教諭の私からしたら、先生がもっと手をかけてあげてほしいなと感じるくらいです。

おうちでできる事としたら、園では自分でやるように促されている分、家ではやってあげていいんじゃないかと思います。
少しずつ「とても上手だから幼稚園でもきっと上手にできるんだろうね☺️」とそれとなく頑張れアピールするぐらいでも今の時期はいい気がするのですが…💦

お子さんきっとよく頑張っていると思うので、お家ではママとゆっくり過ごされてください☺️

環境の変化が色々と親子どっちもにストレスになる時期ですよね
体調崩されないよう気を付けてもらえたらと思います

お子さんは主張できる子でしょうか？
また、新しい園の人員配置は余裕がありそうでしょうか？
そもそも小さいお子さんとのことで、初めての先生に声をかけるだけでもとっても神経を使うと思うのです
お漏らしとのことですが声をかけても先生が振り向かなかったり、手が足らずに勝手にやっていてみたいな感じだとお漏らしになるのは当たり前だと思います
だからしばらくはその状態はどうにもならないんじゃないかなと

お子さんが楽しく通えるのが一番というのが根幹の考え方にあるとして
今の状態だとトイレ自体がまだちょっとハードルがある段階でお漏らしして場合によってはほかの子から口出しされたり、やれていないってだめだしされたりするなら行かない！ってなりかねないですもんね
それを行くと楽しいに変えるには、どうしたらいいかというところに焦点を当てるべきかと
荒療治ですが、一つの案としておむつやトレパンに切り替えていいのならトイレに行くけどそういったものをつけてもOKの方が安心して園に通うことができるんじゃないかなと思いました
漏らすことについては例えば食事前にしか声をかけない先生で頻回に行くお子さんだとそれまで待てないってこともあると思うのでいつのタイミングに漏らしやすく、そのもらしてしまうタイミングの前にちょっと声をかけてもらえないかといったことを相談するのも手ですよね

訓練できることとしたら
トイレは園だとこのタイミングで声掛けします見たいなことがあればそれにある程度準じた行動を家でも取ってみて今まで家で行っていた時と時間や状況が違わないかというのを見てもいいかも
膀胱が小さいと待てないと思うのでそういうことがわかれば園にも相談しやすいかもと思います

話しかけるのが苦手な子なら話しかけてもらうまでこっちからあんまり手を出さない、これって言われてもどれ？って聞いて言葉を話す機会を増やさせるということくらいではないのでしょうか？
家ではがっつり甘えさせること声をかけてくれたら必ず振り向くこと、見ているしやったらほめてあげるよということを伝えてみるのはすぐできることかなと思いました（園だとやってもほめてくれなかったり怒られるばっかりでやる気が無くなってしまったのかも）
参考になれば幸いです