こんばんは。
とりあえず予約はしておいてはどうでしょうか。
診断自体はどうしても専門の医療機関を受信しないと診断してもらえません。

予約の期間に他にもないか探してみてはどうでしょうか。
予約せず探して結局振り出しに戻ったときまた1年半待つのはしんどいと思います。
また、保健センターにも発達相談を受け付けてたりしますのでそちらも相談してみてはどうでしょうか。
診断は下りませんが、発達検査を定期的に心理士の先生がきてしてることが多いです。

検査してもらうと検査後に苦手なところ、得意なところ、苦手なところを伸ばすアドバイスがもらえたり普段困ってることの相談が出来たりします。

自治体にもよるかもしれませんが、保健センターで相談しておくと後々も連携してもらえたりもします。
加配の先生の有無はわかりませんが、私のところだと検査結果を園と共有して加配の先生がどう接するかいいか試行錯誤してくれて子供も先生が大好きなようでした。

とりあえず予約して、相談出来るところを利用しながら別の病院を探して見るのがいいのではないかなと思います。
発達センターは私のところも年度末に次年度の予約を受け付けて普段は一切予約を受け付けない(受け付けれない)ようだったので一年待ちとかそれ以上待つのはよくあることなんだと思います…。

後は療育は残り少ないですが放課後デイサービスを小学校以降利用する可能性があるなら、その準備をしてもいいと思います。
(役所にいく、事業所をきめる、受給者証をとる、入れるなら療育の通所をする等)