新しい環境の中で、色々な不安があるのでしょうね。
特に小学１年生でそれまでとは様子がガラッと変わり、戸惑っているのではないかと思います。これは決してめずらしいことではありません。小学校になりたてのお子様ですから、行きたくない気持ちを言葉にするのは難しいこともあると思います。お母様も優しく対応されて素晴らしいですね。いつまで続くかと思うと、不安を感じられるのはとてもよくわかります。それからお子様たちは、行き渋りながらも、登校・登園されているとういうことでよいですか？その場合は学校や園で、できること、楽しい経験が増えていくと、慣れていくかもしれませんね。
声掛けとしては、頑張るように応援したり、「なんで行かないの！？」のように問い詰める内容の声掛けは、逆効果になってしまうことがあります。行きたくないという気持ちを一旦受け止めつつ、「今日はどうして行きたくないと思ったの？」「お母さんもそう思うときあったなぁ」と、共感して、お子様たちの気持ちを否定せず、理解しているメッセージを伝えられると、お子様たちもホッとできるかもしれませんし、場合によっては行きたくない本当の理由を言ってくれたり、見えてきたりするかもしれません。

お子様が何に不安を感じているのか、原因は１つに特定できるのかを見極めるのはなかなか難しく、少なくとも、「楽しいことワクワクすること」より「嫌なことや辛いこと」のほうが大きくなって、負荷がかかってしまっている状態かと思われます。
行き渋りが続くようであれば、学校や園の先生と連携をとっておくこともおすすめします。お子様の状態や、保護者様の思いを伝えることは、学校の対応や、登校、登園しやすくなる環境を整えることができる場合も多いです。スクールカウンセラーや自治体の教育相談室など学校と保護者様との間、という立ち位置で、相談に乗る機関もありますので、お母様だけで不安を溜め込まないよう、気持ちの整理や対応方法の具体的な提案を受けてみるのもいいかもしれません。

言葉も出てくるようになり、コミュニケーションもできるようになったとのこと、お子様のペースでしっかり成長されている様子で何よりです。小さいお子様の場合は特に発達の仕方、スピードは本当に個別的です。これからも、ゆったりとした気持ちで見守っていただければと思います。

睡眠については、寝付きが良くなかったり、夜泣きがあったりでご心配とのことですね。子どもの睡眠が不安定になるにはいくつか要因があるようです。まずは環境によるもの、ストレスによるものについての可能性があるかもしれません。下にお子様が生まれて、お母様も2人の育児、特に下のお子様のお世話で大変かと思います。いままで独り占めできていたお母様を取られたような気になって、「赤ちゃん返り」のような状態になっているかもしれませんね。言葉ではなかなか気持ちを表現するのは難しい年齢です。このような形で表出することも考えられるかと思います。
生活リズムや環境を確認してみるのも良いようです。起床時間と就寝時間が日によってバラバラになっていないか、適度に静かで寝心地の良い寝室か、寝る前にお腹が空きすぎていないかなどをチェックすると良いようです。
これらに特に問題ないようであれば、長い時間でなくて良いので、昼間は外でしっかり体を動かすようにさせると、夜には疲れて寝てしまうかもしれません。また、小さなことで良いので、声掛けして褒めてあげる（「ご飯ぜんぶ食べられたね」「たくさん遊んだね」など）たり、できる範囲で構いませんから一緒に遊んだ時にスキンシップをとることで、お子さんのことを見てあげていることが伝わるといいかと思います。お子様の中の安心が積み重なって、夜泣きも自然に消えていくのではないでしょうか。

逆さバイバイについては、これをすることが、必ずしも自閉症スペクトラム症を意味するということではありません。他者視点を持つことが、現段階ではまだ苦手（人がバイバイするときに手のひらが見えるので、同じように自分の手のひらが見えるようにバイバイしてしまう）ということも、要因の一つとして考えられます。お子様が言葉を自分のペースで習得したように、いずれできるようになることは十分に考えられるのではないでしょうか。

睡眠がなかなか改善されず、心配が続くようであれば、かかりつけの小児科の先生に相談してみましょう。子育て支援センターや保健センターでも相談を受け付けています。育児支援のサポートをしている自治体も多いですので、お母様が少しでも気持ちが楽になるように、色々と外部の支援機関を頼ってみてください。