こんにちわ。
病み上がりでしんどい中での朝の登園、本当に大変ですよね。

わたしも似たようなことがあり、登園後に先生に全部まかせていました(笑)「最近朝こんな感じなんです…」と軽く伝えておくと、先生の方が「おはよう！待ってたよ〜！」と迎え入れてくれたり、すぐに好きな遊びにつなげてくれるよう調整してくれることがあります。
病み上がりも伝えておくと、午前中はゆったり見てもらえるかもしれません。

あとは入り口まで抱っこ → 園の門の前で降ろす → 「ここからはママと手つなぎで先生のところまで行こう！」のように、少しずつ「自分で歩く距離」を伸ばしていく練習をしました。

良かったら参考にしてください。

お子さんの状況、とてもつらいですね。5歳で「先生が怖い」「怒られるから嫌」「できないから嫌」と明確に拒否反応が出ているのはかなり強い精神的ストレスがかかっているサインだと思います。

発達グレーゾーンでも、園生活で明確な「困りごと」（集団参加困難、先生への強い恐怖、パニック傾向など）がある場合、多くの自治体で加配が認められるケースが増えています。診断がなくても、医師の意見書や療育先の報告書があれば申請可能です。
市区町村の担当課に電話して「発達グレーゾーンの5歳児で、保育園で強いストレスから湿疹とあくびが出ており、加配の相談をしたい」と伝えてみてください。申請書類や必要な書類（療育機関の意見書など）を教えてくれます。
加配がつくと、先生が1対1で寄り添ってくれる時間ができ、子どものペースに合わせた声かけや活動調整が可能になり、かなり状況が変わることが多いです。

また「怒られるから嫌」という言葉が出ている以上、先生の声のトーン・叱り方・指示の出し方がお子さんにとって強すぎる可能性があります（グレーゾーンの子には普通の声でも大声に感じる子がいます）。
具体的に「こういう言葉をかけるとパニックになる」「泣いた後にあくびが頻発する」など、先生に観察されているサインを全部伝えて、個別の対応をお願いする。
もし「うちでは対応できない」と言われたり、変化が見られない場合は転園を本気で検討してよいと思います

ひとりで抱え込まず、まずは自治体に電話して加配の道を探ることから始めてみてくださいね