新しい環境の中で、色々な不安があるのでしょうね。
特に小学１年生でそれまでとは様子がガラッと変わり、戸惑っているのではないかと思います。これは決してめずらしいことではありません。小学校になりたてのお子様ですから、行きたくない気持ちを言葉にするのは難しいこともあると思います。お母様も優しく対応されて素晴らしいですね。いつまで続くかと思うと、不安を感じられるのはとてもよくわかります。それからお子様たちは、行き渋りながらも、登校・登園されているとういうことでよいですか？その場合は学校や園で、できること、楽しい経験が増えていくと、慣れていくかもしれませんね。
声掛けとしては、頑張るように応援したり、「なんで行かないの！？」のように問い詰める内容の声掛けは、逆効果になってしまうことがあります。行きたくないという気持ちを一旦受け止めつつ、「今日はどうして行きたくないと思ったの？」「お母さんもそう思うときあったなぁ」と、共感して、お子様たちの気持ちを否定せず、理解しているメッセージを伝えられると、お子様たちもホッとできるかもしれませんし、場合によっては行きたくない本当の理由を言ってくれたり、見えてきたりするかもしれません。

お子様が何に不安を感じているのか、原因は１つに特定できるのかを見極めるのはなかなか難しく、少なくとも、「楽しいことワクワクすること」より「嫌なことや辛いこと」のほうが大きくなって、負荷がかかってしまっている状態かと思われます。
行き渋りが続くようであれば、学校や園の先生と連携をとっておくこともおすすめします。お子様の状態や、保護者様の思いを伝えることは、学校の対応や、登校、登園しやすくなる環境を整えることができる場合も多いです。スクールカウンセラーや自治体の教育相談室など学校と保護者様との間、という立ち位置で、相談に乗る機関もありますので、お母様だけで不安を溜め込まないよう、気持ちの整理や対応方法の具体的な提案を受けてみるのもいいかもしれません。

ご主人が仕事でお忙しく、ご自分のケアもままならない中で、年子の2人の息子さんの育児、ほんとうによく頑張ってらっしゃると思います。まずは、どうかご自分を褒めてあげてくださいね。
そして、少しでもお母様の負担が軽くなる方法をたくさん考えましょう。ご主人が直接的に育児に参加するのは難しいようなので、割り切るしかないかもしれませんが、短時間でもいいので、お母様のお話だけでも聞いてもらうように協力していただけないでしょうか。

それから自治体のサポートを受けることも選択肢の一つに入れてもいいかもしれません。ファミリー・サポートは多くの自治体で設けられている支援制度です。一時的にお子さんを預かってくれるサービスもあり、お母様のリラックスのために利用することができるようです。条件が自治体によって異なると思いますので、役所にお問い合わせすることをおすすめします。また育児に関する、不安や相談は、児童家庭支援センター等でも行っています。決してひとりで抱え込むことのないよう、弱音でも構いません、話を聞いてもらったり悩みを相談したりするのに、専門家の相談窓口を利用するも良いと思います。

それぞれのお子さんの好みが異なるということで、対応大変かと思います。お母様の取り合いになってしまうかもしれませんね。休日はお母様と3人全員で一緒に楽しめる方法を探してみるのもいいかもしれません。大型児童館に出かけてみたり、遊具のたくさんある公園に行ってみたり。お子さん2人とも、それぞれ勝手に自由に遊んでくれるかもしれません。そこでは同じように育児を経験している他の保護者の方や、先輩ママさんと情報交換もできるかもしれません。またはゆったりと、お家で子ども向けの映画を観るのもいいかもしれませんね。皆で没頭できる作品があるといいな、と思います。

十分に頑張っていらっしゃるお母様が、ご機嫌でいられることが大切です。お子さんは小さなことでも、褒めて認めてあげれば（「もう準備できたの？」「ゴミ捨ててくれてありがとう」「ご飯食べ終わったのね」など、事実を伝えるだけでも、自分ができていることが確認できるので、お子さんの自己肯定感が上がることがあります）、お子さんも気持ちが安定しますから、あとは少しくらい放っておいても大丈夫、くらいのお気持ちでもよいのではないのでしょうか。