お住まいの自治体のことが分からないので回答が難しいのですが、
直接市の福祉関係の課に相談されるのも手かもしれません。
例えば【障害福祉課】や【こども課】などという名前になります。
平日にそちらの窓口へ出向き、お子さんのことや病院がなかなか決まらないことなどを相談されてみてはいかがでしょうか。
まだ支援センターにつながっていない場合は、支援センターへつなげてくださるかもしれません。
支援センターへつながっていても、発達外来の予約が取れなくてリハビリを受けられないというパターンもあるかもしれません。
その場合でも、支援センターに相談されることで、リハビリの需要感を訴えることにもなると思います。