うちは区の育児相談で地域の療育センターに繋げてもらって、そこで検査を受けました。

医師の先生もいってたのですが、発達特性があるだけでは発達障害とはよばないそうです。程度や環境などにより、生活に支障や問題がでてくると発達障害となります。

拝見した感じでは、集団生活でもしっかりしているそうですし発達障害とまではいかないのではと思います。
診断でなくても療育など通うことはできますが、お子さんの感じだと行っても物足りないというか意味を感じられないかもしれません。
特性は生まれもったものなのでなくなることはありませんが、成長とともに落ち着いてくる部分もあります。結局診断がでても根本的治療ができるわけではなく、親や周りが環境調整したり対応を工夫したりになります。

学校の就学相談の時期はもう過ぎているので、入ってから問題があれば対応みたいな感じになるかなと思います。

発達障害かどうかは置いておいて、うちも上の子が発達障害かと悩み、何度か発達検査してます😊

うちの場合は3歳半検診の時に保健師に強く訴えてたのもあり、向こうから数ヶ月に1度様子見の連絡がきててスムーズでした。
今から連絡をするならば、市の保健センターに電話して「子供の発達が心配なのですが検査は出来ますか？」というのがいいかと思います🤔
私の市では3ヶ月待ちとかでした🤲

検査内容は簡単な手指の器用さを見る紐通しや鉛筆५✍、目で見たものを再現できるかの紐通し(形や色違いのビーズ)、ブロック積み、とあるシーンの絵を見せられて「どんな場面？どうするべき？」というような質問、
あとは勉強系の数字遊び、とかでした😊
それらをする中での子どもの様子や態度、喋り方(滑舌)等も全てチェックされます。
大体30分〜1時間ほどかと思います。

検査結果はその場で年齢相応とか凹凸があるとかざっくり分かりますよ🙆‍♀️
必要であれば幼稚園にも保健センターから結果を連絡してくれます😌
結果がイマイチだった場合の紹介は保健センターからお住まいの市の施設を紹介してくれるはずですよ🙆‍♀️
紹介状が無いと受け入れてくれない場所も保健センターの紹介状で行けるようになります😌