自分自身忘れ物が１０歳過ぎても１日５個とかあった人間です
親からも注意されましたが全く意味がなく１１歳になったころに急に忘れ物がへった記憶があります
これについて子供が通っている精神科に問い合わせたところどうもそういう忘れ物などの記憶の回路がしっかり出来上がった時期が１１歳前後なんじゃないかと
発達障害でよく言われるのが脳の回路が一部だけ活性化して、それ以外がなかなか育ないのでアンバランスになるという話で、私の場合も小さいころ実際そうだったのかなと思います
６年とのことまだまだそういった回路よりお友達に気を利かせることや学校で適応するための能力を使う脳を優先して育てているだけかもしれません
うちの子も忘れ物多いですがなんだかんだこれはいるというのを覚えて本人なりに頑張ることが増えてきました
質問者様のお子さんもだんだんまんべんなく育っていくと思いますよ
関心が忘れ物や時間は把握に向いたり、もうどうにもならないくらいの忘れ物が出てしまったら嫌でも覚えるかなぁと

お母さんとしては学校でとりあえず指摘もなく、本人なりに頑張っているとのことなので
例えば仕事に行くときに子供がいて施錠できないのは困りますからそれを限度として学校に行ってもらうくらいに軽く構えて放置でいいかと
荒療治ですがクラスメートから遅刻を言われればやばいと思って時間間隔を身に着けるようになるかもと思います
いつ変わるかは何とも言えませんが学校から特に言われていなくて学力的にもある程度取れている（まだ掛け算ができないなど学習障害みたいなものが出ていない）のであればまだ待ってもいいかなと
ただ親としてイライラするのはそれだけしっかり向き合っている証拠だと思いますから、悪いことではないと思います
本人に一度どの程度困っていてどれから優先的に対処していく方がいい？といった話を今回の質問文を抜粋して見せて相談という形をとってもみてもいいかもしれません

たじままさんの子どもさんも新しい環境の中で、日々頑張られていることと思います😊

外出先でで突然友達に会うと恥じらいもあったりなんと声をかけていいかとなることもあるかもしれませんね！
もし保育園や出先などで、特定場面での発話が全くなくなったり、些細なことで緊張したり、強い不安を感じやすかったり、人間関係なども支障をきたしてきていたり、子どもさんが困っているなどとなると本人のストレスになると思うので、その場合は安心できる環境づくりをしたり、専門機関に相談したりしてみてもいいかなと思います！
今は、園でも友達とも遊んでいますよと言われたとのことで、園でもお友だちとの関係は支障なく過ごせているようなので、まだ様子を見てみてもいいのかもしれませんね😊でもいつも側で過ごしているたじままさんの気づきも大切だと思うので、心配なようでしたら必要に応じて相談してみてもいいとは思います！
子どもさんが無理なく楽しく過ごせることを願っています😌